資料是如何被表示的？整數、浮點數、負數表示

電腦世界中，所有資料最終都是 0 和 1，都可以用二進位表示不同的數字。但是數字可不是只有正整數，還有負數和帶小數的浮點數。今天我們來理解整數、負數和浮點數在電腦裡的表示方式。

一、整數表示（Integer）

整數就是沒有小數部分的數字，例如 0、1、42、1000。

電腦用二進位表示整數，每一個位元（bit）只有 0 或 1。位元的組合形成位元組（byte），通常 8 位元 = 1 byte。

例如用 8 位元表示正整數：

• 十進位 5 → 二進位 00000101
• 十進位 42 → 二進位 00101010

整數表示的範圍取決於位元數：

• 8 位元可以表示 0~255（如果只有正數）
• 16 位元可以表示 0~65535
• 32 位元可以表示 0~4294967295

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二、負數表示（Signed Integer）

電腦也需要表示負數，但二進位原本只有 0 和 1。常用的表示方法有三種：

1. 符號位（Sign-magnitude）

• 最左邊的位元代表符號：0 = 正，1 = 負
• 其他位元表示數值
• 例：8 位元，+5 = 00000101，-5 = 10000101
• 優點：直觀易懂
• 缺點：有兩個零（+0 和 -0），加減運算變得複雜

2. 一補數（One’s complement）

• 負數 = 將正數的每個位元取反（1變0，0變1）
• 最高位元代表符號：0 = 正，1 = 負
• 例：+5 = 00000101，-5 = 11111010
• 優點：比符號位更方便一些
• 缺點：仍有兩個零（+0 和 -0），加減運算仍較複雜

3. 二補數（Two’s complement，最常用）

• 負數 = 正數取反（1變0，0變1） + 1
• 例：+5 = 00000101，-5 =（00000101 取反為 11111010 再 + 1）= 11111011
• 最高位元代表符號：0 = 正，1 = 負
• 優點：加減運算可以統一，不需要區分符號位
• 缺點：範圍不對稱（例如 8 位元，範圍是 -128 到 127，因為 0 也要算一位）

二補數是現代電腦標準，因為簡單的運算以及沒有正負零，因此幾乎所有 CPU 都使用二補數表示負數。

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三、浮點數表示（Floating Point）

浮點數用來表示帶小數的數字，例如 3.14、-0.001、2.71828。

在解釋浮點數之前，先複習一下科學記號：

• 科學記號將數字表示為 尾數 × 基底^指數，例如：
• $3.14=3.14\ast {10}^0$
• $0.001=1\ast {10}^{-}3$
• $2500=2.5\ast {10}^3$
• 也就是以整數乘以 10 的某個次方來表示數字
• 也代表整數可以向左或向右移動小數點的位置

浮點數遵循 IEEE 754 標準，基本概念：

• 將數字表示為：(-1)^符號 × 尾數 × 2^指數
• 分成三部分：
  1. 符號位：0 = 正數，1 = 負數
  2. 指數（Exponent）：決定數字向左偏移或向右偏移多少位
  3. 尾數（Mantissa）：有效數字的精確度
• 浮點數大致可以分成單精度與雙精度：
  • 單精度（32 位元）：1 位元符號 + 8 位元指數（偏移量127） + 23 位元尾數
  • 雙精度（64 位元）：1 位元符號 + 11 位元指數（偏移量1023） + 52 位元尾數

INFO

偏移量（Bias）是為了讓指數可以表示正負數而設計的。

只要將實際指數加上偏移量，就能用無符號整數表示。

比如 $2+127=129$，可以用 8 位元二進位表示為 $10000001$，只要扣回偏移量 127 就能得到實際指數

如果沒有使用偏移量，會很難用二進位表示負數，只能使用補數或是其他方法，會增加複雜度。

單精度資料範圍

部位	位元範圍
符號位	1 位元（1 or 0）
指數	8 位元（範圍約 -126 到 +127）
尾數	23 位元（約 7 位十進位有效數字）

雙精度資料範圍

部位	位元範圍
符號位	1 位元（1 or 0）
指數	11 位元（範圍約 -1022 到 +1023）
尾數	52 位元（約 15 位十進位有效數字）

舉例

以下是 $2^n$ 次方值對照二進位值的對照表：

2的N次方換算十進位	對應二進位值
N = -5 => 0.03125	00001
N = -4 => 0.0625	0001
N = -3 => 0.125	001
N = -2 => 0.25	01
N = -1 => 0.5	1
N = 0 => 1	1
N = 1 => 2	10
N = 2 => 4	100
N = 3 => 8	1000
N = 4 => 16	10000
N = 5 => 32	100000

假設十進位數字 $-6.5$ 轉成浮點數表示(b10代表以十進位、b2代表以二進位)：

1. 先將符號位提取出來：$-6.5=-1\ast 6.5(b10)$ 符號位是負數，先記為 $1$，接下來處理 $6.5(b10)$
2. $6.5$可以分拆分為 $(4+2+0.5)(b10)$，轉成二次方表示為 $(2^2+2^1+2^{-}1)$
3. $(2^2+2^1+2^{-}1)$ 轉成二進位是 $110.1(b2)$
4. $110.1(b2)$ 可以看作是 $110.1\ast 2^0(b2)$，再轉成科學記號是 $1.101\ast 2^2(b2)$
5. 所以 $2^2$ 取指數為 2，根據單精度指數偏移量 127，實際存的值是 $2+127=129$，轉成二進位是 10000001
6. 尾數是 1.101 的小數部分 101，後面補足到 23 位元是 10100000000000000000000
7. 最後組合起來是： 1 符號 | 10000001 指數 | 10100000000000000000000 尾數（總共32bit）

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四、總結

• 整數：固定位元，範圍有限；二補數表示負數最常用
• 浮點數：帶小數，採科學記號表示，範圍大但有精度限制
• 負數：二補數是現代標準，方便統一運算
• 電腦內所有資料，無論整數、浮點數、文字或圖片，最終都可用 0/1 來表示